Álgebra
Membros
Prof. Ramon Moreira Nunes
Prof. Rodrigo Lucas Rodrigues
Descrição
Os principais interesses dos membros de álgebra estão relacionados à teoria analítica dos números (atuando principalmente nos seguintes temas: números sem fatores quadrados, equidistribuição em progressões aritméticas, somas de exponenciais, somas de Kloosterman, funções aritméticas e distribuição uniforme) e às estruturas algébricas não necessariamente associativas (atuando principalmente nos seguintes temas: classificações algébricas e geométricas, superálgebras, comprimentos de álgebras, álgebras satisfazendo identidades polinomiais, loops e álgebras de grupo).
Em matemática, a teoria analítica dos números é um ramo da teoria dos números que utiliza métodos da análise matemática para resolver problemas relacionados aos números inteiros.
A teoria analítica dos números passou a ocupar um papel central em pesquisa matemática desde a prova do teorema da progressão aritmética de Dirichlet em 1837 e ganhou ainda mais força com a prova do teorema dos números primos de Hadamard e La vallée Poussin em 1896. Ao longo dos anos 1900 essa teoria viveu um período bastante frutuoso com trabalhos de matemáticos de altíssimo calibre passando pelos trabalhos inovadores de Hardy-Littlewood-Ramanujan, a prova de Vinogradov do teorema dos três números primos, os resultados de Selberg, pioneiros nas conexões entre teoria dos números e teoria de formas automorfas e tantos outros.
É de interesse estudar as propriedades de equidistribuição de objetos aritméticos e na teoria das formas automorfas, especialmente suas funções L.
A teoria das formas automorfas é uma das áreas centrais de pesquisa na teoria moderna dos números, conectando a teoria dos números, a geometria aritmética, a teoria das representações e a análise complexa de maneiras inesperadas.
As funções L desempenham um papel crucial na investigação de propriedades dos números primos, como a distribuição deles ao longo dos números inteiros, e têm aplicações em problemas de equidistribuição de objetos aritméticos e na teoria de curvas elípticas.
Em outro contexto, em 1833, Hamilton apresentou uma formulação de um número complexo a+bi como o par ordenado (a,b) de números reais e, assim, as raízes da equação $x^2 + 1 = 0$ podem ser identificadas como os pares $(0,1)$ e $(0,-1)$, o que desvendou um grande mistério da época; e também definiu uma estrutura de corpo em ${\mathbb R}^2$. Durante 10 anos, ele tentou definir uma multiplicação em ${\mathbb R}^3$ para obter igualmente um corpo, o que atualmente sabe-se que é impossível. Porém em 1843, foi capaz de definir uma multiplicação em ${\mathbb R}^4$ produzindo uma estrutura algébrica que satisfazia todos os axiomas de corpo, exceto a comutatividade, o conjunto dos quatérnios. Graves definiu uma multiplicação em ${\mathbb R}^8$, introduzindo os octônios, que não são comutativos e nem associativos e também foram descobertos independentemente por Cayley em 1845, o que também justifica receberem o nome de números de Cayley.
Em 1858, em seu artigo, Cayley introduziu o que hoje conhecemos como álgebras de matrizes. Durante a segunda metade do século XIX, o problema da classificação de álgebras associativas foi amplamente estudado por B. Peirce e C. Peirce, Frobenius, Scheffers, Molien, Cartan, dentre outros. Tal teoria foi estendida para álgebras de dimensão finita sobre um corpo arbitrário em 1907 por Wedderburn, e para álgebras associativas satisfazendo condições de finitude para cadeias de ideais, em torno de 20 anos depois, por Artin. Em 1945, Jacobson eliminou as condições supracitadas, produzindo um novo conceito de radical.Desde os primórdios dessa formalização mais rigorosa de estruturas algébricas, um objetivo que sempre esteve presente foi buscar entender como tais conceitos se manifestavam na natureza. Essas manifestações, hoje são formalmente entendidas como representações. Assim, a teoria de representações de álgebras sempre foi um tópico de pesquisa em pleno desenvolvimento e com diversas conexões com outras áreas, como a Física e a Química. Em particular, o conceito de simetria, que sempre foi algo presente e explícito na natureza, foi captado pela teoria de grupos e suas representações, cujos primórdios remetem ainda ao final do século XVIII com Lagrange e início do século XIX com Galois, curiosamente também estando relacionados ao estudo de raízes de equações polinomiais.
Na metade final do século XIX, ao tentar estender algumas técnicas e conceitos da teoria de grupos para o estudo analítico de equações diferenciais, Lie obteve os fundamentos do que hoje são chamados grupos de Lie, além de evidenciar uma nova estrutura algébrica que funcionava como uma versão linearizada de tais grupos. Poucos anos depois, Killing descreveu esta nova estrutura de forma puramente algébrica. Tal estrutura foi denominada por Weyl como álgebra de Lie, já no século XX. Desta forma, estas álgebras, que não são associativas, estão intimamente ligadas a diversos fenômenos que envolvem simetrias, e por conta disso foram, e continuam até hoje, sendo um campo fértil de pesquisa em Matemática, com diversas aplicações nas mais diversas áreas.
O desenvolvimento da teoria de álgebras associativas teve destaque até o fim dos anos 20 do século XX. A partir dessa década, muitos pesquisadores têm se dedicado ao estudo de estruturas não associativas nas mais diversas direções, o que se justifica não só pela importância algébrica, mas também por suas conexões com outras áreas de Matemática, Física, Biologia e Estatística. Por exemplo, as álgebras de Jordan, que são uma das principais classes de álgebras não associativas, foram introduzidas por von Neumann, Jordan e Wigner como uma ferramenta algébrica no estudo de mecânica quântica; e as álgebras alternativas possuem uma conexão profunda com a teoria de planos projetivos.
