Singularidades & Topologia
Membros
Prof. Lev Birbrair
Prof. Alexandre César Gurgel Fernandes
Prof. Jose Edson Sampaio
Prof. Helge Moeller Pedersen
Descrição
Topologia é o estudo matemático dos espaços e de suas formas. Espaços topológicos aparecem naturalmente em quase todos os ramos da ciência moderna. Isso fez de topologia uma das áreas mais unificadoras da matemática, com profundas conexões em praticamente todas as outras. Ideias que hoje são consideradas como “topológicas” surgiram por volta de 1736. A partir do meio do século 19, a área começou a criar autonomia, que foi consolidada em 1895 quando Henri Poincaré publicou Analysis Situs, introduzindo os conceitos de homotopia e homologia.
O grupo de pesquisa em Topologia e Singularidades da UFC atua em duas grandes subáreas:
- Teoria de Singularidades, que pode ser informalmente descrita como o estudo de quanto e como um dado espaço topológico falha em ser localmente Euclidiano.
- Topologia em dimensão 3, que é o estudo dos espaços tridimensionais e de superfícies dentro destes espaços.
SINGULARIDADES
Uma das principais subáreas é a Teoria Métrica das Singularidades das funções e dos conjuntos. Um dos aspectos desta teoria é a geometria Lipschitz das singularidades. Equivalência Lipschitz das singularidades é uma equivalência situada entre as equivalências suave e equivalência topológica. A propriedade comum com a equivalência topologica é o teorema de Finitude das classes de equivalência. Por outro lado a equivalência Lipschitz geométrica é mais próxima da equivalência suave ou analítica.
Na UFC, membros do grupo de pesquisa em Teoria de Singularidades participaram dos trabalhos de fundação da Teoria Métrica das Singularidades. Entre os primeiros resultados de geometria Lipschitz das curvas e superfícies singulares reais e complexas conhecidos no mundo, os resultados descobertos por membros de nosso grupo são considerados muito importantes. Uma conexão de teoria métrica das singularidades e topologia de dimensão 3 foi recentemente descoberta aqui na UFC. Atualmente os membros de equipe continuam a investigar as singularidades dos conjuntos e funções do ponto de vista métrico, trabalhando com equivalência blow-topológica e K-equivalência das funções.
TOPOLOGIA EM DIMENSÃO 3
A célebre Conjectura de Poincaré teve grande influência no desenvolvimento da topologia no século 20. A resolução desta conjectura por Smale em 1961 para dimensões maiores que 4 evidenciaram que os espaços “mais complicados” eram os de dimensão 3 e 4. Os trabalhos de Donaldson, Freedman e Casson nos anos 80 mostraram o quão diferente estruturas nestas dimensões são.
A teoria dos espaços de dimensão 3 foi revolucionada nos os anos 70 pelo trabalho de Thurston, onde ele mostrou que Topologia e Geometria estavam intimamente relacionados nesta dimensão. Ele também mostrou que, dentre os espaços de dimensão 3, os mais abundantes são aqueles com estrutura hiperbólica. Este cenário possibilitou o desenvolvimento de uma rica linha de pesquisa em Topologia, tendo profundas conexões em Geometria, Teoria dos Grupos, Teoria de Nós, Análise Geométrica e Sistemas Dinâmicos.
As linhas de pesquisa em Topologia de Dimensão 3 na UFC têm conexões com Geometria Hiperbólica, Teoria de Nós e Teoria de Grupos. De maneira geral, procuramos compreender: (1) Como a álgebra, a geometria e a topologia de uma variedade hiperbólica de dimensão 3 e volume finito se refletem em propriedades de seus recobrimentos finitos; (2) Relacionar descrições combinatórias de tais variedades, especialmente complementos de nós e enlaçamentos, à propriedades geométricas e topológicas da variedade.
